İhsan Köse

Fraktal, kendine benzeyen yapılara sahip canlı veya cansız fizikî sistemleri anlatmak için kullanılır. Kâinata dikkatlice bakıldığında, hemen her şeyin bir fraktal ailesine mensup olduğu görülebilir. Meselâ ağaçlar, hayvanlar, insanlar, taşlar, denizler, bulutlar, gezegenler, galaksiler vb. gözleyebildiğimiz bütün sistemler birer fraktaldır. Her bir fraktal ailesindeki birimlerin, birbirine benzemesi fakat tıpatıp aynı olmaması, insanları hayrete sevk etmektedir. Bu kendine benzer yapılar, her varlığın Ehad ve Vahid olan bir "Yaratıcı"nın kudret eliyle yaratıldığına da birer işarettir.

Fraktal geometrik yapıların matematik modellerle üretilebileceğini ilk ifade eden, fraktal tabirini bilim dünyasına kazandıran Fransız araştırmacı Benoit Mandelbrot'tur. Mandelbrot her fraktal ailesinin, geometrik olarak, farklı matematik bağıntılar kullanılarak elde edilebileceğini göstermiştir. Meselâ bir eğrelti otunu çizdirebilmek için kullanılan matematik bağıntı ile kar tanesini çizdirmek için kullanılan bağıntı birbirinden farklıdır. Bu açıdan bakıldığında, âdeta farklı tezgâhlarda dokunan her varlığa Ehadiyyet'in bir tecellisi olarak tıpatıp benzeyen başka bir hemcinsi olmayacak şekilde varlık elbisesi giydirilmektedir.

Bilim insanlarını etkileyen fraktal modellerden birisi Koch ağaç modelidir (Şekil–1a).1 1977 yılında matematikçi Benoit Mandelbrot, Koch ağaç modeline dayanarak, "akciğerlerin kendine benzer bir organ" olduğunu, dolayısıyla bir fraktal yapıya sahip bulunduğunu ifade eden ilk bilim insanıdır. Şekil–1a'da, ana koldan başlayarak her kolun ikiye ayrıldığı, oluşan yeni kolların (nesillerin) büyüklüklerinin belli ve sabit bir oranda giderek küçültülmesiyle oluşturulan bir Koch ağaç modeli görülmektedir. Bu biçimde oluşturulan ve Şekil–1a'da gösterilen yapı, bir insanın akciğerindeki hava kanallarına (Şekil–1b) çok benzemektedir. Hava kanallarının çap ve uzunluğunun belli bir çarpan kadar giderek küçülmesi, hem kan damarlarında hem de akciğerlerdeki hava kanallarında fonksiyonel bir öneme sahiptir. Teorik olarak yapılan hesaplamalarda, aynı daldan oluşturulan iki yeni kanalcığın çapları olan d1 ve d2 ile bu iki kanalcığın neş'et ettiği ana kanalın çapı olan d0 arasında d02=d12+d22 şeklinde bir münasebet varsa, böyle bir kanal sistemi içinde kan veya hava akışındaki azalma sebebiyle oluşan enerji kaybının minimum olduğu gösterilmiştir.1,2 Şekil–1a'da birbirini takip eden 12 adet jenerasyon (nesil) görülmekle birlikte, teorik olarak yapılan çalışmada 23. nesle kadar olan kanallar çizdirilerek çalışılmış ve aynı ana kanaldan neş'et eden iki yeni kanalın aynı çap ve uzunluğa sahip olduğu varsayılmıştır. Bu durumda küçülme oranı 2-1/3 olarak alınmıştır. Bu yol takip edilerek, her nesil için hava kanallarının ortalama çapı hesaplanmış ve şekildeki yapı oluşturulmuştur. Elde edilen teorik neticeler ile insan vücudundaki akciğerler için tespit edilen değerler kıyaslandığında, insan akciğerindeki birbirine bağlı hava kanallarının kendine benzer fraktal yapılar olduğu görülmüş ve bu ağaca benzer yapının bütün akciğeri kaplayacak şekilde devam ettiği tespit edilmiştir. Bu ilmî çalışmada ortaya konan tespitlerden birisi de, nefes borusundaki çıkış uçlarından başlayarak akciğerdeki bütün köşelere kadar devam eden bu geometrik yapının, en etkin hava akışını sağlayacak şekilde hassas bir mizan ile tasarlanmış olmasıdır.

Görüldüğü gibi akciğerlerimizde hem mükemmel bir hesapla, hikmetli bir iş görülmekte, hem de göz zevkimize hitap edecek tarzda bir sanat eseri sergilenmektedir. Ayrıca, hava kanallarındaki geometrik küçülme oranı 6. nesle kadar 2-1/3=0.79 olacak şekilde hassas bir mizanla ayarlanmıştır. Eğer 6. nesle kadarki küçülme oranı bu değerden daha küçük bir değerde olsaydı, içimize çektiğimiz havanın daha küçük olan bronşlarda karşılaşacağı direnç kuvvetli bir şekilde artacak ve astım gibi birtakım rahatsızlıklara maruz kalabilecektik. Mükemmel bir matematik hesap ile inşa edilen bronşların oluşturduğu bu ağaca benzer yapı, astım gibi rahatsızlıklara yol açmayacak şekilde, belli bir güvenlik oranı ile küçültülerek yaratılmıştır. 6. nesilden 16. nesle kadar, küçülme oranının yavaş bir şekilde 0,9'a kadar arttığı3 ve küçük hava kanallarının ortalama küçülme oranının yaklaşık olarak 0,85 olduğu hesaplanmıştır. Dolayısıyla hava akışına karşı gösterilen direnç, küçük hava kanallarında azalmakta ve 6. nesle kadar 0,79 olan ve 16. nesle kadar yavaş bir şekilde 0,9'a çıkan küçülme oranının, akciğerin vazifesini mükemmel bir şekilde yapabilmesi için hassas bir şekilde ayarlandığı anlaşılmaktadır. Hava kanallarının önemli vazifelerinden birisi de, havanın akciğerin en ücra yerlerine kadar taşınmasını sağlayan kılcal kan damarlarına, havadaki oksijeni taşımalarıdır. Bu vazifenin kusursuz bir şekilde icra edilebilmesi için hava kanallarının civarında o bölgeyi sarmalayacak şekilde çok büyük bir yüzey oluşturulmuştur (Şekil–2b). Buradaki toplam yüzey, yaklaşık bir tenis sahasını kaplayacak büyüklüktedir. Başka bir deyişle, yüzey büyüklüğünün, bir insanın yeterli miktarda hava ve oksijen alabilmesi için oluşturulduğu ve küçük bir hacme fonksiyonel büyük bir sanat eseri sığdırıldığı anlaşılmaktadır.4 Fraktal hesaplarına benzeyen daha başka hesapların, her varlık için ayrı ayrı algoritmalarla icra edildiğini ve böylece kâinatta temaşa ettiğimiz farklılaşma (ne aynısı ne gayrısı) sürecinin gerçekleştirildiğini görebilmek, kâinattaki Tevhid hakikatinin çok açık şekilde fark edilebilmesi bakımından önemlidir. Kâinattaki varlıklar yakından incelendiğinde, onlarda Büyük Sanatkar'ın nakış ve izlerini görmek mümkündür. Kâinatta karmaşa olarak gözüken hâdiselerin arka plânında hikmetli bir iş yapılmakta ve böylece bilim dünyasının gizli düzen (implicate order) dediği örtük bir düzen oluşturulmaktadır.

Dipnotlar
1. Gabriele A. Losa, Danilo Merlini, Theo F. Nonnenmacher, Ewald R. Weibel, Fractals in Biology and Medicine, Birkhauser Verlag, 2005.
2. E.R. Weibel, D.M. Gomez, Architecture of the human lung, Science vol. 137, pp.577-585, 1962.
3. B. Mauroy, M. Filoche, E.R. Weibel, B. Sapoval, An optimal bronchial tre emay be dangerous, Nature vol. 427, pp.633-636, 2004.
4. E.R. Weibel, Fractal geometry: a design principle for living organisms, Am. J. Physiol. Vol.261, pp.L361-369, 1991.
5. B.B. Mandelbrot, Fractals: Form, Chance and Dimension, San Fransisco, Freeman, 1977.

Geometri Uygulamaları

Matematik

Geometri

Kullanıcı Menüsü

Dosya Kategorileri

457 ziyaretçi ve 0 üye çevrimiçi

İnteraktif Matematik Yazılımı v 1.0

Fonksiyon grafikleri, İkinci Dereceden Denklemler ve Kökleri, Trigonometri, Logaritma, Limit, Türev ve İntegral ile ilgili öğretici interaktif uygulamalar.

İnteraktif Geometri Yazılımı v 1.2

Üçgenler ve çemberler ile ilgili merak ettiğiniz konuları interaktif olarak öğrenin. Onlarca ücretsiz uygulama bir tek programda bir arada.